対数と色んなソシャゲガチャ

明けましておめでとうございます！

ふーめーきんです！

皆様、ソシャゲのガチャは

良いもの引けましたか？

今回は対数関数を使って

とある数値を計算していきます！

１、対数って何？

　改めまして、明けましておめでとうございます、ふーめーきんです。今年もよろしくお願いいたします。新年一発目の記事がこれでいいのか悩んだのですが、まあお正月ガチャとかいろんなとこがやってますし、若干タイムリーかなと思いまして…。

　じゃあまず対数関数って？という話ですが、難しく言えば「ある数を他の数の冪乗として表した場合の冪指数」、ざっくり言うと「logなんちゃら」です。高校生の時に習いませんでしたかね？

　例えば「2の2乗は？」って訊かれたら分かりますかね？正解は4です。これを「2を何乗したら4になるか？」という風に変形したものがlogもとい対数です。

　今回はこれを使ってソシャゲのガチャの渋さを炙り出していこうと思います。

２、じゃあ具体的にはどうするの？

　今回計測していく数値は「最高レアが99％以上の確率で出るまで、最低何回ガチャを回せばいいのか？」です。

　「えっ、何回引いても99％で出るわけないでしょ」と思った方、全然違います。

　例えば、4本中1本がアタリとなっているくじがあるとします。この時、1回引いてハズレになる確率は4分の3ですが、2回ともハズレになる確率は16分の9、3回なら64分の27…と段々減っているのが分かると思います。

　この（4分の3）のn乗（nは１以上の整数とします）は小さくなって、やがて100分の1を切ることになります。この「n回引いて全部ハズレとなる確率」を１から引くと、「一回目でアタリを引く確率+二回目でアタリを引く確率+一回目も二回目もアタリを引く確率+三回目でアタリを…」、要するに「少なくとも一回はアタリを引く確率」が出現します。

　この確率は、「すべてハズレの確率」に反比例して大きくなり、こちらはやがて100分の99を上回ります。この時の『n』が、上記の「アタリが99％以上の確率ででる回数」になる訳です。勿論その回数より前に、あわよくば一回で引けるのがベストなのですが…。

　まあ、99％以上ってことはほぼ100％なので、実質これだけ引けば1つ以上アタリを引ける、位の気持ちで見て下さい。但し、小数点以下を四捨五入しているのと、何より100％ではないので全部外れることもあります。なので、実際にやってみて「全然出ない、詐欺だ」と言われましても此方は責任を取れません。それは単にあなたの運が滅茶苦茶悪いだけです。多分。

　今回はTwitterのタイムラインで私がよく見る奴に絞ってるので、もし「○○の確率、こことは違うものになってる！」なんてことがあれば是非ご一報ください。いつも数学に対してやきもきしている人は「数学っていつ使うの？」とよく言いますが、意外とこういう事にも使えるんですよ？

因みにですが、今回の計算は

手元の常用対数表を用いて

手動で計算しています…。

立式自体は間違っていない筈なので、

大丈夫だとは思うんですが

いささか不安ですね…！

３、まずは実際に計算してみよう

　まずはスマホアプリの方でも古株、今年で9周年を迎える『パズル＆ドラゴンズ』から…

　…行きたかったのですが、こちらはレアリティではなく排出されるキャラ1個1個に確率が付与されていたり、何より恒常ガチャ自体が数日でラインナップを変えてしまう為、判別が難しく計算が出来ず仕舞い…。結局今回は見送る形に。

　期待していた方には申し訳ないので、「このキャラ一点狙いしたいから最低回数教えて！」などあれば個別で回答したいと思います…。

　気を取り直して、じゃあ『モンスターストライク』はどうでしょうか。モンスト公式では、恒常ガチャの★5と★6の合計出現確率は12％とされています。

　2の項で述べた通りなのですが、「一度でもアタリが引ける確率」と「１－（全部ハズレを引く確率）」は同じ値になります。つまり何回引けば99％アタリが出るか調べたいときにはハズレを連続で何回引けばその確率が100分の1を切るかを考えます。

　モンストの場合、★5以上をアタリとするとその確率は12％ですので、ハズレはその逆である88％となります。そうすると式は以下の通りになります。

(88/100)ⁿ≦1/100

　この式に10を底とした対数logをとると（底の部分は今後省略）

log(88)ⁿ‐2n≦‐2

　常用対数表より、log88=1.9445であることを利用し、これを更に変形させて、

1.9445n‐2n≦‐2　⇒　0.0555n≧2

　となるので、あとは2を0.0555で割ると凡その回数が出ます。

n≧2/0.0555≒36

　という事で、モンストで★5以上を引くには最低でもおよそ36回引けば出る、という事になりました！

　今回調査した中で一番確率が高く、当然一番引く回数も少ないのがこの『モンスト』でした。という事は、これ以降は更に確率が低くなっていきます。当然計算も面倒なので、これ以降は最後以外の計算式をブログに載せません。そもそも最初の式の88の部分を他の数に変えてるだけなので。

　という事で、サクサク行きましょう！

４、天井って偉大なんやなぁって・・・

　次に確率が高いのは『アークナイツ』でした。こちらでは★5と★6の合計出現確率が10％となっています。よってn≧2/0.0458≒44回となりました。

　★6のみの確率（2％）は後でまた計算いたします。

　続いて『アズールレーン』のSSR出現率である7％です。なんだかYostarはガチャが親切設計ですね（偏見）。最低回数はn≧2/0.0315≒63回です。ちょっと多くなりました。

　次は5％なのですが、ここが結構多いゾーンその1ですね。『アイドルマスターシャイニーカラーズ』のSSRアイドル、『メギド72』のキャラクター出現率、『ラブライブ！スクールガールフェスティバル』のURとSSRの合計出現確率、『にゃんこ大戦争』の超激レア出現確率など、様々です。

　この確率における最低回数はn≧2/0.0223≒90回となりました。段々と上がってきましたね。この辺から無課金だと少しきつくなってきますかね？

　そして3％。こちらは結構多いゾーンその2です。『アイドルマスターシンデレラガールズスターライトステージ』『グランブルーファンタジー』のSSR、『プロジェクトセカイカラフルステージ』『バンドリ！ガールズバンドパーティー！』の★4など、大方のソシャゲがここに集約されていると思います。

　最低回数はn≧2/0.0132≒152回です。いよいよ100の大台に乗りました。

　次は『プリンセスコネクト！Re:Dive』の★3出現確率である2.5％。ここから小数点が入ってきます。はっきり言って小数点が入ると桁が変わるので計算が物凄く面倒です…。

　という訳で計算タイム。n≧2/0.011≒182回です。なんかあまり変わりませんね、感覚麻痺でしょうか…？

　ちょっと飛んで1.5％。『デュエルマスターズプレイス』のSR、『シャドウバース』のレジェンドが主に該当します。こちらはn≧2/0.0066≒303回になりました。

　いよいよ本題です。『Fate/GrandOrder』の★5サーヴァントでお馴染みの1％です。他にも『白猫プロジェクト』の★5キャラ、『マギアレコード』の★4魔法少女、『けものフレンズ3』の★4フレンズなど、こちらも結構多くのソシャゲガチャが犇いています。

　そして最低回数はn≧2/0.0044≒455回になります。これなのに天井が無いFGOは凄いなとつくづく思いますね。

よ、ようやく終わった…

ここまでくると運がない人が

本当に可哀想になってきます…

でも流石にこれ以下の確率は

まず無いはずですよね…

？？？「あるで」

………（絶句）

　ありました。miHoYoからリリースされ、最近話題に上がった『原神』です。原神には武器やキャラ、アイテムに分かれた恒常ガチャがあるらしいのですが、そのガチャにおける★5の排出確率、驚異の0.6％です。引かせる気あるんですかねこれは。

　当然ですが最低回数もn≧2/0.0026≒769回と断トツの結果に。FGOとダブルスコアとはならないものの、とんでもない回数になりましたね。

５、おわりに

　まず言っておきたいのは、ソシャゲとは必ずしもガチャが全てでは無い、という事です。

　FGOのように、低レアのユニットでもしっかり育てればちゃんとした戦力になったり、モンストやグラブルのように低レア専用のクエストを設けている場合もあるので、一概に最高レアが強いと言い切るのはどうかと私は思います。そもそも高レアだけじゃないと成り立たないゲームならすぐオワコン化するでしょうし。

　あともう一つ。何度でも言いますが「最低でもこれだけ回せば99％以上出るよ！」としか私は言っていません。その「1％以下」を引く場合もあるし「10回で5つ出る」確率を引くことだってあります。飽くまでも目安でしかないので、精神的な保険をかけるために使うなり、課金の目安にするなりして下さい。

　でも769連分のお金を入れる位ならちょっとでも貯金した方が自分のためになるんじゃないかと、老婆心ながらそう思いました。お金は計画的に使いましょうね。

EX、おまけ

ここからはおまけのコーナーです！

本編で言いそびれた最低回数、

FGOを基準として深堀した確率を

ご紹介します！

　まずは『アークナイツ』の★6のみ、『シャニマス』のPアイドルのみの排出確率である2％から。計算式を丸々カットしまして、最低回数は227回でした。

　次に『白猫』の★5+★4の合計排出確率である11％。最低回数は40回です。というか「白猫プロジェクト　出ない」とサジェストに書かれているんですが、本当に出るんですかね…？

　あともう一つ、『FGO』について「1点狙いするとどうなるか」という話を他の方から頂いたので調べてみたところ、★5のピックアップ時、★5が1体か2体かによって確立が変わるとのこと。

　そんな訳で両方とも調べてみました。★5ピックアップ1体のとき、排出確率は0.8％、最低回数は571回。2体の時は排出確率はそれぞれ0.4％、最低回数は1111回でした。ついに1000回を超えることに…。

　ついでにFGOでよくある「すり抜け」が起こる確率を求めていきます。がしかし、計算方法が上記のとまた違うので、こちらはちゃんと計算式を載せます。（計算に自信無いor前提が違っているかも知れないのでもし訂正があればコメントお願いします。）

　計測するガチャは1月12日現在開催中の「千子村正ピックアップガチャ」ですが、今回求めていくのは「★5が出たときにそれが狙っていたものと違う確率」（要するに条件つき確率のことです）なので、取り敢えずガチャのタイトルにも書いてある「千子村正」を狙うと仮定します。

　★5セイバーが出る確率は824/100000、村正以外のセイバーが出る確率は24/100000なので、すり抜けの確率は以下のようになります。

24/100000÷824/100000=24/824≒0.029

　ということで約3％となりました。取り敢えずすり抜けを起こした人は泣いていいと思います。

今回は以上です！

ここまで見て下さり

ありがとうございます！

…計算間違ってなければ

良いんだけどなぁ…

参考にしたページ

• 今回は無し。強いて言うなら各ソシャゲ公式発表の数値くらいなので…